Newtonsches und lagrangesches Interpolationsverfahren in Mathematik

Lagrangesches Interpolationsverfahren

Ein anderes Verfahren stammt vom französischen Mathematiker JOSEPH LOUIS LAGRANGE (1736 bis 1813, Bild 2).
Das k-te lagrangesche Polynom n-ten Grades $(m i t k \leq n)$ ist folgendermaßen definiert:
$L_{k} (x) = \frac{(x - x_{o}) (x - x_{1}) \cdot ... \cdot (x - x_{k - 1}) (x - x_{k + 1}) \cdot ... \cdot (x - x_{n})}{(x_{k} - x_{o}) (x_{k} - x_{1}) \cdot ... \cdot (x_{k} - x_{k - 1}) (x_{k} - x_{k + 1}) \cdot ... \cdot (x_{k} - x_{n})}$
Als lagrangesches Interpolationspolynom ergibt sich dann:
$L (x) = y_{0} \cdot L_{0} + y_{1} \cdot L_{1} + y_{2} \cdot L_{2} + ... + y_{n} \cdot L_{n}$

Beispiel: Gegeben seien (wiederum) die Punkte $P_{0} (1; 2), P_{1} (2; 3), P_{2} (3; 1) u n d P_{3} (4; 3)$ .

Dann sind zunächst die lagrangeschen Polynome 3. Grades $L_{0}; L_{1}; L_{2} u n d L_{3}$ zu berechnen, und es ist:
$\begin{array}{l} L_{0} = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{0} - x_{1}) (x_{0} - x_{2}) (x_{0} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 2) (x - 3) (x - 4)}{(1 - 2) (1 - 3) (1 - 4)} = - \frac{1}{6} (x^{3} - 9 x^{2} + 26 x - 24) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{1} = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{2}) (x - x_{3})}{(x_{1} - x_{0}) (x_{1} - x_{2}) (x_{1} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 1) (x - 3) (x - 4)}{(2 - 1) (2 - 3) (2 - 4)} = \frac{1}{2} (x^{3} - 8 x^{2} + 19 x - 12) \end{array}$

$\begin{array}{l} L_{2} = \frac{(x - x_{0}) (x - x_{1}) (x - x_{3})}{(x_{2} - x_{0}) (x_{2} - x_{1}) (x_{2} - x_{3})} \\ = \frac{(x - 1) (x - 2) (x - 4)}{(3 - 1) (3 - 2) (3 - 4)} = - \frac{1}{2} (x^{3} - 7 x^{2} + 14 x - 8) \end{array}$

$L 3 = ( x − x 0 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ( x 3 − x 0 ) ( x 3 − x 1 ) ( x 3 − x 2 ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( 4 − 1 ) ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) = 1 6 ( x 3 − 6 x 2 + 11 x − 6 )$

Dann ergibt sich das lagrangesche Interpolationspolynom in der Form
$L (x) = 2 \cdot L_{0} + 3 \cdot L_{1} + 1 \cdot L_{2} + 3 \cdot L_{3},$
woraus nach Einsetzen und Umformen
$L (x) = \frac{1}{6} (7 x^{3} - 51 x^{2} + 110 x - 54)$
folgt. Erwartungsgemäß ist dieses Ergebnis identisch mit dem des vorangehenden Beispiels.

Ein Vergleich beider Interpolationsverfahren zeigt, dass beim newtonschen Verfahren durch die Hinzunahme einer neuen Stützstelle die bisherigen Rechnungen Gültigkeit behalten während beim lagrangeschen Verfahren die gesamte Rechnung neu begonnen werden muss.

Weitere Interpolationsformeln wurden von den Mathematikern JAMES STIRLING (1692 bis 1770), PIERRE SIMON LAPLACE (1749 bis 1829), CARL FRIEDRICH GAUSS (1777 bis 1855) und FRIEDRICH WILHELM BESSEL (1784 bis 1846) entwickelt.
Der Interpolation, bei der es darum geht, eine Funktion zu finden, deren Bild durch eine vorgegebene Menge von Punkten geht, ist die Ausgleichsrechnung verwandt. Bei dieser ist ebenfalls eine Menge von Punkten (z.B. als Ergebnis von Messungen) vorgegeben, und es wird eine Funktion (lineare, quadratische, trigonometrische Funktion bzw. Potenz-, Wurzel, Exponential-, Logarithmusfunktion) gesucht, die einen den gegebenen Punkten zugrunde liegenden Zusammenhang möglichst gut widerspiegelt. Im Gegensatz zur Interpolation wird bei der Ausgleichsrechnung nicht gefordert, dass das Bild der Funktion durch alle gegebenen Punkte geht. Im Gegenteil, da die Existenz von Messfehlern angenommen werden muss, geht es darum, die Abweichungen zu minimieren und auszugleichen sowie Aussagen über die erreichte Genauigkeit zu treffen.

Newtonsches und lagrangesches Interpolationsverfahren in Mathematik | Schülerlexikon (2024)

Lagrangesches Interpolationsverfahren

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